Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線AD交BC于D，點O在AB上，經過A、D兩點的⊙O交AB于E．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若AC=6，BC=8，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明BC是⊙O的切線只要證明OD⊥BC即可；
（2）由勾股定理可求得AB的長，過C作CH⊥AB于H，從而可求得CH的值．再利用三角形的面積公式S_△ABC=S_△OBC+S_△OAC可求得半徑的長．
解答：證明：（1）連接OD，（1分）
∵∠BAC的平分線AD交BC于D，
∴∠OAD=∠CAD；
又∵∠OAD=∠ODA，
∴∠ODA=∠CDA，
∴OD∥AC．
∵∠ACB=90°，
∴OD⊥BC，（3分）
∴BC是⊙O的切線．（4分）

解：（2）∵AC=6，BC=8，
∴AB=10；
過C作CH⊥AB于H，
則CH==，（5分）
連接OC，設⊙O的半徑為r；
則S_△ABC=S_△OBC+S_△OAC=，（6分）
∴，
∴．（8分）
點評：本題考查的是切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．