Question

已知關于x的一元二次方程x²-mx+2m-1=0的兩個實數根的平方和為23，求m的值．
某同學的解答如下：
解：設x₁、x₂是方程的兩根，
由根與系數的關系，得x₁+x₂=-m，x₁x₂=2m-1；
由題意，得x₁²+x₂²=23；
又x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂；
∴m²-2（2m-1）=23．
解之，得m₁=7，m₂=-3，
所以，m的值為7或-3．
上述解答中有錯誤，請你指出錯誤之處，并重新給出完整的解答．

Answer 1

【答案】分析：根據一元二次方程根的判別式結合根與系數的關系解答．
解答：答：錯誤之處在于方程x²-mx+2m-1=0中，a=1，b=-m，x₁+x₂=m．
運用兩根關系解得答案時，沒有代入方程的判別式檢驗．
解：由根與系數的關系，得x₁+x₂=m，x₁x₂=2m-1．
由題意，得x₁²+x₂²=23．
又x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂．
∴m²-2（2m-1）=23．
解之，得m₁=7，m₂=-3．
所以，m的值為7或-3．
當m=7時，△=（-m）²-4（2m-1）
=（-7）²-4（2×7-1）
=-1＜0，方程無實根．
當m=-3時，△=（-m）²-4（2m-1）
=（3）²-4[2×（-3）-1]
=37＞0，方程有兩個不相等的實數根實根．
∴m=-3．
點評：此類題目是中學階段常規題目，此類題目在根據根與系數的關系解得答案時要代入原方程的判別式進行檢驗．