Question

【題目】（2016浙江省衢州市）如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)A，B在函數(shù)（x＞0）的圖象上，點(diǎn)C，D分別在x軸，y軸的正半軸上，當(dāng)k的值改變時，正方形ABCD的大小也隨之改變．

（1）當(dāng)k=2時，正方形A′B′C′D′的邊長等于____．

（2）當(dāng)變化的正方形ABCD與（1）中的正方形A′B′C′D′有重疊部分時，k的取值范圍是______________．

Answer 1

【答案】 ≤k≤18．

【解析】解：（1）如圖，過點(diǎn)A′作AE⊥y軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B′⊥x軸于點(diǎn)F，則∠A′ED′=90°．

∵四邊形A′B′C′D′為正方形，∴A′D′=D′C′，∠A′D′C′=90°，∴∠OD′C′+∠ED′A′=90°．∵∠OD′C′+∠OC′D′=90°，∴∠ED′A′=∠OC′D′．

在△A′ED′和△D′OC′中，∵∠ED′A′=∠OC′D′，∠A′ED′=∠D′OC′，A′D′=D′C′，∴△A′ED′≌△D′OC′（AAS），∴OD′=EA′，OC′=ED′．

同理△B′FC′≌△C′OD′．

設(shè)OD′=a，OC′=b，則EA′=FC′=OD′=a，ED′=FB′=OC′=b，即點(diǎn)A′（a，a+b），點(diǎn)B′（a+b，b）．∵點(diǎn)A′、B′在反比例函數(shù)的圖象上，∴，解得：或（舍去）．

在Rt△C′OD′中，∠C′OD′=90°，OD′=OC′=1，∴C′D′==．

故答案為：．

（2）設(shè)直線A′B′解析式為，直線C′D′解析式為，∵點(diǎn)A′（1，2），點(diǎn)B′（2，1），點(diǎn)C′（1，0），點(diǎn)D′（0，1），∴有和，解得：和，∴直線A′B′解析式為y=﹣x+3，直線C′D′解析式為y=﹣x+1．設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，2m），點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，n）．

當(dāng)A點(diǎn)在直線C′D′上時，有2m=﹣m+1，解得：m=，此時點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，），∴k=×=；

當(dāng)點(diǎn)D在直線A′B′上時，有n=3，此時點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，6），∴k=3×6=18．

綜上可知：當(dāng)變化的正方形ABCD與（1）中的正方形A′B′C′D′有重疊部分時，k的取值范圍為≤k≤18．故答案為：≤k≤18．