Question

如圖，已知線段a及∠O．
（1）只用直尺和圓規，求作△ABC，使BC=a，∠B=∠O，∠C=2∠B（在指定作圖區域作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在△ABC中作BC的中垂線分別交AB、BC于點E、F，如果∠B=30°，求四邊形AEFC與△ABC的面積之比．

Answer 1

解：（1）

（2）如圖，
∵∠B=30°，∴∠C=60°，∠A=90°，
∴△ABC∽△FBE，cos30°=，
∵BC=a，
∴AB=a，
∴==，
∴S_△BEF：S_△ABC=1：3，
∴四邊形AEFC與△ABC的面積之比為：2：1
分析：（1）先作一個角等于已知角，即∠MBN=∠O，在邊BN上截取BC=a，以射線CB為一邊，C為頂點，作∠PCB=2∠O，CP交BM于點A，△ABC即為所求；
（2）由∠B=30°，可得∠C=60°，根據三角函數可求得AB的長，則△ABC∽△FBE，從而得出=，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，求得答案即可．
點評：本題考查了基本作圖，作一個角等于已知角，以及相似三角形的判定和性質，相似三角形的面積之比等于相似比的平方．