Question

如圖，已知線段a及∠O．
（1）只用直尺和圓規，求作△ABC，使BC=a，∠B=∠O，∠C=2∠B（在指定作圖區域作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在△ABC中作BC的中垂線分別交AB、BC于點E、F，如果∠B=30°，求△ABC面積被中垂線分成的兩部分之比．

Answer 1

分析：（1）先作一個角等于已知角，即∠CBA=∠O，截取BC=a，以射線CB為一邊，C為頂點，作∠ACB=2∠O，△ABC即為所求；
（2）由∠B=30°，可得∠ACB=60°，根據三角函數可求得AB的長，則△ABC∽△FBE，從而得出

BF

AB

=

1

3

，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，求得答案即可．

解答：解：（1）作三角形圖---------------------------（4分）；
（分解：作已知角、2倍角、取BC=a、完成三角形各1分）

（2）作BC中垂線，連接EC，
∵∠B=30°，∠ACB=2∠B=60°，
∴∠BAC=90°，
∵∠BFE=90°，
∴△ABC∽△FBE，
∵BC=a，
∴AB=

3

2

a，
∴

BF

AB

=

1 2 a

3 2 a

=

1

3

，
∴S_△BEF：S_△ABC=1：3，
∴△FEC≌△AEC，
所以△BEF與四邊形AEFC的面積之比為1：2．

點評：本題考查了基本作圖，作一個角等于已知角，以及相似三角形的判定和性質，相似三角形的面積之比等于相似比的平方．