Question

已知關于x的二次函數y=-x²+（2m+3）x+4-m²的圖象與x軸交于A、B兩點，點A在點B的左邊，與y軸的交點C在原點的上方，若A、B兩點到原點的距離AO、OB滿足4（OB-AO）=3AO•OB．
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）求這個二次函數圖象的頂點M的坐標，并畫出函數圖象的略圖；
（3）求△AMC的面積．

Answer 1

分析：（1）本題可根據韋達定理和題中給出的OA、OB的關系式來求m的值，以此來得出拋物線的解析式；
（2）根據（1）得出的拋物線的解析式可用配方法或公式法求出M的坐標；
（3）由于三角形ACM的面積無法直接求出，設AM與y軸的交點為D，可將其分割成三角形ADC和CDM兩部分來求．可先求出直線AM的解析式，得出D的坐標后再求三角形AMC的面積．

解答：解：（1）∵拋物線與y軸的交點在原點上方，且拋物線開口向下
∴A、B必在原點兩側．
∵點A在點B的左邊，因此A在x軸的負半軸，B在x軸的正半軸．
設A（x₁，0），B（x₂，0），那么OA=-x₁，OB=x₂．
則有：x₁+x₂=2m+3，x₁x₂=m²-4．
∵4（OB-AO）=3AO•OB，即4（x₂+x₁）=-3x₁x₂；
4（2m+3）=-3（m²-4），
解得m=0，m=-

8

3

，
∵拋物線與y軸的交點C在y軸正半軸
∴4-m²＞0，即-2＜m＜2，
∴m=0．
∴拋物線的解析式為y=-x²+3x+4；

（2）由（1）知：y=-x²+3x+4=-（x-

3

2

）²+

25

4

，
∴M（

3

2

，

25

4

）；

（3）設直線AM與y軸的交點為D．
易知A（-1，0），M（

3

2

，

25

4

），
∴直線AM的解析式為y=

5

2

x+

5

2

．
∴D（

5

2

，

5

2

），
∴CD=OC-OD=4-

5

2

=

3

2

，
∴S_△ACM=S_△ACD+S_△CDM=

1

2

×

3

2

×1+

1

2

×

3

2

×

3

2

=

15

8

．

點評：本題考查了二次函數與一元二次方程的關系、一元二次方程根與系數的關系、函數解析式的確定、圖形面積的求法、函數圖象交點等知識．