Question

已知關于x的二次函數y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象經過點C（0，1），且與x軸交于不同的兩點A、B，點A的坐標是（1，0）
（1）求c的值；
（2）求a的取值范圍；
（3）該二次函數的圖象與直線y=1交于C、D兩點，設A、B、C、D四點構成的四邊形的對角線相交于點P，記△PCD的面積為S₁，△PAB的面積為S₂，當0＜a＜1時，求證：S₁-S₂為常數，并求出該常數．

Answer 1

分析：（1）把C（0，1）代入拋物線即可求出c；
（2）把A（1，0）代入得到0=a+b+1，推出b=-1-a，求出方程ax²+bx+1=0，的b²-4ac的值即可；
（3）設A（a，0），B（b，0），由根與系數的關系得：a+b=

1+a

a

，ab=

1

a

，求出AB=

1-a

a

，把y=1代入拋物線得到方程ax²+（-1-a）x+1=1，求出方程的解，進一步求出CD過P作MN⊥CD于M，交x軸于N，根據△CPD∽△BPA，得出

PM

PN

=

CD

AB

，求出PN、PM的長，根據三角形的面積公式即可求出S₁-S₂的值即可．

解答：（1）解：把C（0，1）代入拋物線得：1=0+0+c，
解得：c=1，
答：c的值是1．

（2）解：把A（1，0）代入得：0=a+b+1，
∴b=-1-a，
即ax²+（-1-a）x+1=0，
b²-4ac=（-1-a）²-4a=a²-2a+1＞0，
∴a≠1，
答：a的取值范圍是a＞0，且a≠1；

（3）證明：∵ax²+（-1-a）x+1=0，
∴（ax-1）（x-1）=0，
∴B點坐標是（

1

a

，0）而A點坐標（1，0）
所以AB=

1

a

-1=

1-a

a

把y=1代入拋物線得：ax²+（-1-a）x+1=1，
解得：x₁=0，x₂=

1+a

a

，
∴過P作MN⊥CD于M，交x軸于N，
則MN⊥X軸，
∵CD∥AB，
∴△CPD∽△BPA，
∴

PM

PN

=

CD

AB

，
∴

1-PN

PN

=

1+a a

1-a a

，
∴PN=

1-a

2

，PM=

1+a

2

，
∴S₁-S₂=

1

2

•

1+a

a

•

1+a

2

-

1

2

•

1-a

a

•

1-a

2

=1，
即不論a為何值，
S₁-S₂的值都是常數．
答：這個常數是1．

點評：本題主要考查對用待定系數法求一次函數、二次函數的解析式，解二元一次方程組，解一元一次方程，相似三角形的性質和判定，根的判別式，根與系數的關系，二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數與X軸的交點等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵，此題是一個綜合性比較強的題目，題型較好，難度適中．