Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，BC是弦，∠B=30°，延長BA到D，使∠BDC=30°．
（1）求證：DC是⊙O的切線；
（2）若AB=2，求DC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據切線的判定方法，只需證CD⊥OC．所以連接OC，證∠OCD=90°．
（2）易求半徑OC的長．在Rt△OCD中，運用三角函數求CD．
解答：（1）證明：連接OC．
∵OB=OC，∠B=30°，
∴∠OCB=∠B=30°．
∴∠COD=∠B+∠OCB=60°．                 （1分）
∵∠BDC=30°，
∴∠BDC+∠COD=90°，DC⊥OC．             （2分）
∵BC是弦，
∴點C在⊙O上，
∴DC是⊙O的切線，點C是⊙O的切點．       （3分）

（2）解：∵AB=2，
∴OC=OB==1．                           （4分）
∵在Rt△COD中，∠OCD=90°，∠D=30°，
∴DC=OC=．                           （5分）
點評：本題考查了切線的判定，證明經過圓上一點的直線是圓的切線，常作的輔助線是連接圓心和該點，證明直線和該半徑垂直．