Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點A（﹣1，0）和點B（1，0），直線y=2x﹣1與y軸交于點C，與拋物線交于點C、D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求點A到直線CD的距離；

（3）平移拋物線，使拋物線的頂點P在直線CD上，拋物線與直線CD的另一個交點為Q，點G在y軸正半軸上，當以G、P、Q三點為頂點的三角形為等腰直角三角形時，求出所有符合條件的G點的坐標．

Answer 1

解：（1）直線y=2x﹣1，當x=0時，y=﹣1，則點C坐標為（0，﹣1）．

設拋物線解析式為y=ax²+bx+c，

∵點A（﹣1，0）、B（1，0）、C（0，﹣1）在拋物線上，

∴，

解得，

∴拋物線的解析式為：y=x²﹣1．

（2）如答圖2所示，直線y=2x﹣1，當y=0時，x=；[來源:學科網ZXXK]

設直線CD交x軸于點E，則E（，0）．

在Rt△OCE中，OC=1，OE=，由勾股定理得：CE=，

設∠OEC=θ，則sinθ=，cosθ=．

過點A作AF⊥CD于點F，

則AF=AE•sinθ=（OA+OE）•sinθ=（1+）×=，

∴點A到直線CD的距離為．

（3）∵平移后拋物線的頂點P在直線y=2x﹣1上，

∴設P（t，2t﹣1），則平移后拋物線的解析式為y=（x﹣t）²+2t﹣1．

聯立，化簡得：x²﹣（2t+2）x+t2+2t=0，

解得：x₁=t，x₂=t+2，即點P、點Q的橫坐標相差2，

∴PQ===．

△GPQ為等腰直角三角形，可能有以下情形：

i）若點P為直角頂點，如答圖3①所示，則PG=PQ=．

∴CG====10，

∴OG=CG﹣OC=10﹣1=9，

∴G（0，9）；

ii）若點Q為直角頂點，如答圖3②所示，則QG=PQ=．

同理可得：Q（0，9）；

iii）若點G為直角頂點，如答圖3③所示，此時PQ=，則GP=GQ=．

分別過點P、Q作y軸的垂線，垂足分別為點M、N．

易證Rt△PMG≌Rt△GNQ，

∴GN=PM，GM=QN．

在Rt△QNG中，由勾股定理得：GN²+QN²=GQ²，即PM²+QN²=10 ①

∵點P、Q橫坐標相差2，∴NQ=PM+2，

代入①式得：PM²+（PM+2）²=10，解得PM=1，

∴NQ=3．

直線y=2x﹣1，當x=1時，y=1，∴P（1，1），即OM=1．

∴OG=OM+GM=OM+NQ=1+3=4，

∴G（0，4）．

綜上所述，符合條件的點G有兩個，其坐標為（0，4）或（0，9）．