【題目】如圖1，二次函數y=ax2+bx的圖象過點A（﹣1，3），頂點B的橫坐標為1．
（1）求這個二次函數的表達式；
（2）點P在該二次函數的圖象上，點Q在x軸上，若以A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標；
（3）如圖3，一次函數y=kx（k＞0）的圖象與該二次函數的圖象交于O、C兩點，點T為該二次函數圖象上位于直線OC下方的動點，過點T作直線TM⊥OC，垂足為點M，且M在線段OC上（不與O、C重合），過點T作直線TN∥y軸交OC于點N．若在點T運動的過程中， 
為常數，試確定k的值．
【答案】（1）y=x2﹣2x；（2）P（1+
，2）或（1﹣
，2）或P（1+
，4）或（1﹣
，4）；（3）k=
．
【解析】試題分析：（1）利用待定系數法即可解決問題．
（2）①當AB為對角線時，根據中點坐標公式，列出方程組解決問題．②當AB為邊時，根據中點坐標公式列出方程組解決問題．
（3）設T（m，m2﹣2m），由TM⊥OC，可以設直線TM為y=﹣
x+b，則m2﹣2m=﹣
m+b，b=m2﹣2m+
，求出點M、N坐標，求出OM、ON，根據
列出等式，即可解決問題．
試題解析：解：（1）∵二次函數y=ax2+bx的圖象過點A（﹣1，3），頂點B的橫坐標為1，則有
，解得： 
，∴二次函數y=x2﹣2x；
（2）由（1）得：B（1，﹣1）．∵A（﹣1，3），∴直線AB解析式為y=﹣2x+1，AB=2
，設點Q（m，0），P（n，n2﹣2n）．∵以A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，分兩種情況討論：
①當AB為對角線時，根據中點坐標公式得，則有
，解得： 
或
，∴P（1+
，2）和（1﹣
，2）；
②當AB為邊時，根據中點坐標公式得
，解得
或
，
∴P（1+
，4）或（1﹣
，4）．
故答案為：P（1+
，2）或（1﹣
，2）或P（1+
，4）或（1﹣
，4）．
（3）設T（m，m2﹣2m）．∵TM⊥OC，∴可以設直線TM為y=﹣
x+b，則m2﹣2m=﹣
m+b，b=m2﹣2m+
，由
，解得
，∴OM=
=
，ON=m
，∴
=
，∴k=
時， 
=
，∴當k=
時，點T運動的過程中， 
為常數．
優等生題庫系列答案科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知直線y=﹣
x+8與x軸、y軸分別交于A、B兩點．直線OD⊥直線AB于點D．現有一點P從點D出發，沿線段DO向點O運動，另一點Q從點O出發，沿線段OA向點A運動，兩點同時出發，速度都為每秒1個單位長度，當點P運動到O時，兩點都停止．設運動時間為t秒．
（1）點A的坐標為_____；線段OD的長為_____．
（2）設△OPQ的面積為S，求S與t之間的函數關系（不要求寫出取值范圍），并確定t為何值時S的值最大？
（3）是否存在某一時刻t，使得△OPQ為等腰三角形？若存在，寫出所有滿足條件的t的值；若不存在，則說明理由．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】 觀察下列兩個等式：2+2＝2×2，3+
＝3×，給出定義如下：我們稱使等式a+b＝ab成立的一對有理數a，b為“有趣數對”，記為（a，b）如：數對（2，2），（3，）都是“有趣數對”．
（1）數對（0，0），（5，
）中是“有趣數對”的是 ；
（2）若（a，
）是“有趣數對”，求a的值；
（3）請再寫出一對符合條件的“有趣數對” ；
（注意：不能與題目中已有的“有趣數對”重復）
（4）若（a2+a，4）是“有趣數對”求3﹣2a2﹣2a的值．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】正方形ABCD中，F是AB上一點，H是BC延長線上一點，連接FH，將△FBH沿FH翻折，使點B的對應點E落在AD上，EH與CD交于點G，連接BG交FH于點M，當GB平分∠CGE時，BM=2
，AE=8，則ED=______．
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【題目】如圖，已知數軸上的點A表示的數為6，點B表示的數為﹣4，點C到點A、點B的距離相等，動點P從點B出發，以每秒2個單位長度的速度沿數軸向右勻速運動，設運動時間為x（x大于0）秒．
（1）點C表示的數是 ；
（2）當x= 秒時，點P到達點A處？
（3）運動過程中點P表示的數是 （用含字母x的式子表示）；
（4）當P，C之間的距離為2個單位長度時，求x的值．
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【題目】點
在線段
上，
．
(1) 如圖1，
，
兩點同時從，
出發，分別以
，
的速度沿直線向左運動；
①在還未到達
點時，
的值為 ；
②當在右側時(點與不重合)，取
中點
，
的中點是
，求
的值；
(2) 若
是直線上一點，且
．則
的值為 ．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系中，
兩點分別是
軸和
軸正半軸上兩個動點，以三點
為頂點的矩形
的面積為24，反比例函數
（
為常數且
）的圖象與矩形的兩邊
分別交于點
.
（1）若
且點
的橫坐標為3.
①點
的坐標為 ，點
的坐標為 （不需寫過程，直接寫出結果）；
②在軸上是否存在點
，使
的周長最小？若存在，請求出的周長最小值；若不存在，請說明理由.
（2）連接
，在點的運動過程中，
的面積會發生變化嗎？若變化，請說明理由，若不變，請用含的代數式表示出的面積.
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】已知：一組數據x1，x2，x3，x4，x5的平均數是2，方差是
，那么另一組數據3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均數和方差分別是（ ）
A. 2， B. 2，1 C. 4，
D. 4，3
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】已知a，b為有理數，且a，b不為0，則定義有理數對（a，b）的“真誠值”為d（a，b）＝
，如有理數對（3，2）的“真誠值”為d（3，2）＝23﹣10＝﹣2，有理數對（﹣2，5）的“真誠值”為d（﹣2，5）＝（﹣2）5﹣10＝﹣42．
（1）求有理數對（﹣3，2）與（1，2）的“真誠值”；
（2）求證：有理數對（a，b）與（b，a）的“真誠值”相等；
（3）若（a，2）的“真誠值”的絕對值為|d（a，2）|，若|d（a，2）|＝6，求a的值．
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