Question

（2011•虹口區模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AD是BC邊上的高，點E、F分別是AB邊和AC邊上的動點，且∠EDF=90°．
（1）求DE：DF的值；
（2）連接EF，設點B與點E間的距離為x，△DEF的面積為y，求y關于x的函數解析式，并寫出x的取值范圍；
（3）設直線DF與直線AB相交于點G，△EFG能否成為等腰三角形？若能，請直接寫出線段BE的長；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先由勾股定理求出BC和CD，再利用三角形相似就可以求出結論．
（2）由條件把AE、AF用含x的式子表示出來，由勾股定理把EF表示出來，再根據（1）的結論把DE、DF用含EF的式子表示出來，根據直角三角形的面積公式就可以求出y的表達式．
（3）如圖，根據線段的數量關系和勾股定理就可以求出BE的值．

解答：解：（1）∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∵AD是BC邊上的高，
∴∠DAC+∠C=90°
∴∠B=∠DAC，
∴∠BDE+∠EDA=∠ADF+∠EDA=90°
∴∠BDE=∠ADF，
∴△BED∽△AFD，
∴

DE

DF

=

BD

AD

，
∵

DB

AD

=cotB=

AB

AC

=

3

4

∴DE：DF=

3

4

（2）由△BED∽△AFD，得

BE

AF

=

BD

AD

=

3

4

，
∴AF=

4

3

BE，
∵BE=x，
∴AF=

4

3

x，AE=3-x，
∵∠BAC=90°，
∴EF²=（3-x）²+（

4

3

x）²=

25

9

x2-6x+9，
∵DE：DF=3：4，∠EDF=90°，
∴ED=

3

5

EF，DF=

4

5

EF，
∴y=

1

2

ED•FD=

6

25

EF²，
∴y=

2

3

x²-

36

25

x+

54

25

（0≤x≤3）


（3）如圖，得：
①在等腰△EFG中，EF=EG，
∴∠G=∠EFG，
∵∠EAF=∠EDF=90°
∴A、E、D、F四點共圓，
∴∠BAD=∠EFG
∴∠BAD=∠G，
∴AD=DG
又∵DF=DG
∴DF=AD，∠ADB=∠EDF，
∴△BAD≌△EFD
∴EF=AB
∴EF²=AB²
∴

25

9

x2-6x+9=9
解得x=

54

25

，
∴BE=

54

25

；
②若EF=GF，
∵EF=FG，EA⊥AC
∴A為EG中點
∴AE=AD，
∵AB=3，AD=

12

5

，
∴BE=3-

12

5

=

3

5

．
∴△EFG能成為等腰三角形，BE的長為

54

25

或

3

5

．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，三角形的面積，等腰三角形的判定，勾股定理的運用．