Question

（2011•虹口區一模）已知A₁、A₂、A₃是拋物線y=

1

4

x2上的三點，它們相應的橫坐標為連續偶數（n-2）、n、（n+2）（其中n＞2），直線A₁B₁、A₂B₂、A₃B₃分別垂直于x軸于點B₁、B₂、B₃，直線A₂B₂交線段A₁B₃于點C．
（1）當n=4時，如圖1，求線段CA₂的長；
（2）如圖2，若將拋物線y=

1

4

x2改為拋物線y=x²+c（其中c是常數，且c＞0）．其他條件不變，求線段CA₂的長；
（3）若將拋物線y=

1

4

x2改為拋物線y=ax²+c（其中a、c是常數，且a＞0）．其他條件不變，求線段CA₂的長，并直接寫出結果（結果用a、c表示）

Answer 1

分析：（1）根據條件可以求出A₁、A₂、A₃的坐標，從而可以求出A₁B₁、A₂B₂、A₃B₃的值，再A₁、A₃的坐標求出直線A₁A₃的解析式，就可以求出C的坐標，可以確定B₂C的值，從而可以求出CA₂的值．
（2）由A₁、A₂、A₃三點的橫坐標可以求出A₁、A₂、A₃三點的坐標，可以求出直線A₁A₃的解析式，就可以求出C的坐標，可以確定B₂C的值，從而可以求出CA₂的值．
（3）由（2）同樣的方法求出求出A₁、A₂、A₃三點的坐標，求出直線A₁A₃的解析式，再求出C的坐標，可以確定B₂C的值，從而可以求出CA₂的值．

解答：解：（1）∵A₁、A₂、A₃相應的橫坐標為連續偶數（n-2）、n、（n+2）（其中n＞2），且n=4，
∴A₁、A₂、A₃三點的橫坐標依次為：2、4、6，
∴代入拋物線y=

1

4

x2可求得A₁（2，1）、A₂（4，4）、A₃（6，9）．
∴A₂B₂=4
設直線A₁A₃的解析式為：y=kx+b，
∴

1=2k+b 9=6k+b

，解得：

k=2 b=-3

，
∴線A₁A₃的解析式為y=2x-3，當x=4時，y=5，
∴C（4，5）
∴CB₂=5，
∴CA₂=1．

（2）∵A₁、A₂、A₃相應的橫坐標為連續偶數（n-2）、n、（n+2）（其中n＞2），
∴代入拋物線y=x²+c，可求得A₁（n-2，n²-4n+4+c）、A₂（n，n²+c）、A₃（n+2，n²+4n+4+c）．
∴A₂B₂=n²+c．
設直線A₁A₃的解析式為：y=kx+b，
∴

(n-2)k+b=n2-4n+4+c (n+2)k+b=n2+4n+4+c

，解得：

k=2n b=-n2+4+c

，
∴線A₁A₃的解析式為y=2nx-n²+4+c，當x=n時，y=n²+4+c，
∴C（n，n²+4+c），
∴CB₂=n²+4+c，
∴CA₂=4．

（3）由題意，得
CA₂=4a（a＞0）．

點評：本題一道二次函數的綜合試題，考查了運用待定系數法求一次函數的解析式和求二次函數的解析式及線段的差．