Question

（2009•順義區一模）取一副三角板按圖1拼接，固定三角板ADC，將三角板ABC繞點A依順時針方向旋轉一個大小為α的角（0°＜α≤45°）得到△ABC′，如圖所示．
試問：（1）當α為多少度時，能使得圖2中AB∥DC；
（2）連接BD，當0°＜α≤45°時，探尋∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小變化情況，并給出你的證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）要使AB∥DC，只要證出∠CAC′=15°即可．
（2）當0°＜α≤45°時，總有△EFC′存在．根據∠EFC′=∠BDC+∠DBC′，又因為∠EFC′+∠FEC′+∠C′=180°，得到∠BDC+∠DBC′+∠C+α+∠C′=180°，則∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=105°．
解答：解：（1）由題意∠CAC′=α，
要使AB∥DC，須∠BAC=∠ACD，
∴∠BAC=30°，α=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC=45°-30°=15°，
即α=15°時，能使得AB∥DC．

（2）連接BD，∠DBC′+∠CAC′+∠BDC的值的大小沒有變化，總是105°，
當0°＜α≤45°時，總有△EFC′存在．
∵∠EFC′=∠BDC+∠DBC′，∠CAC′=α，∠FEC′=∠C+α，
又∵∠EFC′+∠FEC′+∠C′=180°，
∴∠BDC+∠DBC′+∠C+α+∠C′=180°，
又∵∠C′=45°，∠C=30°，
∴∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=105°．
點評：本題需要把旋轉的性質、平行線的判定和三角形內角和定理相結合求解，考查學生綜合運用數學知識的能力，注意“內錯角相等，兩直線平行”．