Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，過點B的切線BE∥AC，點P是優弧AC上一動點(不與A，C重合)，連接PA，PB，PC，PB交AC于D．

(1)求證：PB平分∠APC；

(2)當PD＝3，PB＝4時，求AB的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)AB=2.

【解析】

(1)根據切線的性質和平行線的性質證得∠BAC＝∠ACB，得出＝，即可證得結論；

(2)通過證得△ABD∽△PBA，根據相似三角形的性質即可求得．

(1)證明：∵BE是⊙O的切線，

∴∠EBC＝∠BAC，

∵BE∥AC，

∴∠EBC＝∠ACB，

∴∠BAC＝∠ACB，

∴AB＝BC，

∴＝，

∴∠APB＝∠CPB，

∴PB平分∠APC；

(2)解：∵∠APB＝∠CPB，∠BAD＝∠CPB，

∴∠BAD＝∠APB，

∵∠ABP＝∠DBA，

∴△ABD∽△PBA，

∴，

∴AB2＝PBBD＝PB(PB﹣PD)＝4×1＝4，

∴AB＝2．