Question

小明學了勾股定理后很高興，興沖沖的回家告訴了爸爸：在△ABC 中，若∠C=90°, BC =" a" , AC =" b" , AB=c，如下圖，根據勾股定理，則 。爸爸笑瞇瞇地聽完后說：很好，你又掌握了一樣知識，現在考考你，若不是直角三角形，那勾股定理還成不成立？若成立，請說明理由；若不成立，請你類比勾股定理，試猜想與的關系，并選擇其中一種情況給予證明。〔下圖備用）

Answer 1

解析
①當三角形是銳角三角形時，
證明：作AD⊥BC垂足是D，設CD的長為x，
根據勾股定理得：b²-x²=AD²=c²-（a-x）²
整理得：a²+b²=c²+2ax
∵2ax＞0
∴a²+b²＞c²  ---- ------------------------8分
②當三角形為鈍角三角形時
證明：過B點作AC的垂線交AC于D點，設CD的長為y
在直角三角形ABD中BD²=c²-（b+y）²
在直角三角形BDC中BD²=a²-y²
∴a²-y²=c²-（b+y）²
整理得：a²+b²=c²-2by
∵2by＞0，∴a²+b²＜c²．---- ----------------------8分
所以：①在銳角三角形中，a²+b²＞c²．
②在鈍角三角形中，a²+b²＜c²．
（其他解法酌情給分）
本題考查勾股定理的應用，做題時考慮全面是關鍵。