Question

22、小明學了勾股定理后很高興，興沖沖的回家告訴了爸爸：在△ABC中，若∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，如下圖，根據勾股定理，則a²+b²=c²．爸爸笑瞇瞇地聽完后說：很好，你又掌握了一樣知識，現在考考你，若不是直角三角形，那勾股定理還成不成立？若成立，請說明理由；若不成立，請你類比勾股定理，試猜想a²+b²與c²的關系，并證明你的結論．〔下圖備用）

Answer 1

分析：根據題意要分銳角三角形、鈍角三角形分別證明，作出它們的高，根據高是兩個直角三角形的一個公用直角邊，利用勾股定理作出證明．

解答：解：①當三角形是銳角三角形時，
證明：作AD⊥BC垂足是D，設CD的長為x，
根據勾股定理得：b²-x²=AD²=c²-（a-x）²
整理得：a²+b²=c²+2ax
∵2ax＞0
∴a²+b²＞c²

②當三角形為鈍角三角形時
證明：過B點做AC的垂線交AC于D點，設CD的長為x
在直角三角形ABD中BD²=c²-（b+x）²
在直角三角形BDC中BD²=a²-x²
∴a²-x²=c²-（b+x）²
整理得：a²+b²=c²-2bx
∵2bx＞0，∴a²+b²＜c²．

所以①在銳角三角形中，a²+b²＞c²．
②在鈍角三角形中，a²+b²＜c²．

點評：作出高轉化到直角三角形中去，利用勾股定理得出結論．