Question

已知關于x的一元二次方程x²+（3-a）x+a-5=0
（1）求證：無論a為何實數時方程總有兩個不相等的實根；
（2）若方程一根大于2，另一根小于2，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先計算根的判別式得到△=a²-10a+29，再配方得△=（a-5）²+4，然后根據非負數的性質得到△＞0，則可根據判別式的意義得到結論；
（2）設方程的兩根為m，n，根據根與系數的關系得m+n=a-3，mn=a-5，再由題意得到（m-2）（n-2）＜0，變形得mn-2（m+n）+4＜0，所以a-5-2（a-3）+4＜0，然后解關于a的不等式．

解答：（1）證明：△=（3-a）²-4（a-5）
=a²-10a+29
=（a-5）²+4，
∵（a-5）²≥0，
∴（a-5）²+4＞0，
∴無論a為何實數時方程總有兩個不相等的實根；

（2）解：設方程的兩根為m，n，則m+n=a-3，mn=a-5，
∵m＞2，n＜2，
∴m-2＞0，n-2＜0，
∴（m-2）（n-2）＜0，
∴mn-2（m+n）+4＜0，
∴a-5-2（a-3）+4＜0，
∴a＞5．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了一元二次方程的解和根與系數的關系．