Question

9．如圖，在平面直角坐標系中，點C坐標為（5，0），點B坐標為（8，4），過點B作BD∥OC交y軸于點D，點A為線段BD上一點且AB=OC，
（1）求點A的坐標．
（2）動點P從點O出發沿射線OC以每秒2個單位的速度運動，M為OB的中點，PM交線段BD于點N，設點P的運動時間為t，試用含t的式子表示線段AN的長
（3）在（2）的條件下，點P在運動的同時動點Q從O出發以每秒1個單位的速度沿線段OD向終點D運動．當點Q停止運動時，點P隨之停止運動．在P、Q運動的過程中，線段BD上是否存在點R，使得以R、D、Q為頂點的三角形與△OPQ全等？若存在，請求出R點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出AD的長即可．
（2）當0≤t≤2.5時，如圖2中，根據AN=AB-BN，當t＞2.5時，如圖3中，AN=BN-AB即可解決問題．
（3）當DQ=OQ，DR=OP時，△POQ≌△RDQ，當OQ=DR，DQ=OP時，△POQ≌△QDR，分別根據對應邊相等即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，

∵點C坐標為（5，0），點B坐標為（8，4），BD∥OC，
∴OC=5，DB=8，
∵AB=OC=5，
∴DA=DB-AB=3，
∴點A坐標為（3，4），

（2）當0≤t≤2.5時，如圖2中，

∵BN∥OP，
∴∠NBM=∠MOP，
在△BMN和△OMP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NBM=∠POM}\\{BM=OM}\\{∠NMB=∠OMP}\end{array}\right.$，
∴△BMN≌△OMP，
∴OP=BN=2t，
∴AN=AB-BN=5-2t，
當t＞2.5時，如圖3中，

∵BN=OP=2t，
∴AN=BN-AB=2t-5．

（3）如圖4中，

當DQ=OQ，DR=OP時，△POQ≌△RDQ，
此時DQ=OQ=2，OP=2OQ=4，
∴DR=4，
∴點R坐標（4，4）．
如圖5中，

當OQ=DR，DQ=OP時，△POQ≌△QDR，
此時4-t=2t，
∴t=$\frac{4}{3}$，
∴DR=OQ=$\frac{4}{3}$，
∴R點坐標為（ $\frac{4}{3}$，4）．
綜上所述滿足條件的點R坐標（4，4）或（$\frac{4}{3}$，4）．

點評 本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質、坐標與圖形等知識，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質，學會分類討論，考慮問題要全面，屬于中考常考題型．