Question

（2008•莆田質檢）（1）探究：如圖1，E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，且∠EAF=45°，請猜測并寫出線段DF、BE、EF之間的等量關系（不必證明）；
（2）變式：如圖2，E、F分別在四邊形ABCD的邊BC、CD上，∠B+∠D=180°，AB=AD，∠EAF=∠BAD，則線段BE、EF、FD的等量關系又如何？請加以證明；
（3）應用：在條件（2）中，若∠BAD=120°，AB=AD=1，BC=CD（如圖3），求此時△CEF的周長．

Answer 1

【答案】分析：（1）結論雖然沒有要求證明，從探求線段DF、BE、EF之間的等量關系可知，證明EF=BE+DF，需要將△ADF繞點A順時針旋轉90°，旋轉后點F對應點M，構成△AME再尋找它與△AFE全等的條件；以此為啟發，圖（2），（3）用類似方法可解．
解答：解：（1）EF=BE+DF．

（2）EF=BE+DF．
證明：延長CB至M，使BM=DF，
∵∠ABC+∠D=180°，∠1+∠ABC=180°，
∠1=∠D，
又∵AB=AD，
∴△ABM≌△ADF．
∴AF=AM，∠2=∠3．
∵∠EAF=∠BAD，
∴∠2+∠4=∠BAD=∠EAF．
∴∠3+∠4=∠EAF，即∠MAE=∠EAF．
又∵AE=AE，
∴△AME≌△AFE．
∴EF=ME，即EF=BE+BM．
∴EF=BE+DF．

（3）連接AC，
∵AB=AD，BC=CD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS）．
∴∠B=∠D，∠DAC=∠BAC．
∵∠B+∠D=180°，
∴∠B=90°，∠BAC=∠BAD=60°．
∴在Rt△ABC中，
BC=ABtan60°=，
由（2）得EF=BE+DF．
∴△CEF的周長=CE+CF+EF=2BC=2．
點評：本題綜合考查用旋轉法證明全等三角形、同時考查了正方形和四邊形的有關知識．注意對三角形全等和解直角三角形的綜合應用．