Question

（2009•姜堰市二模）已知：如圖，△ABC是等邊三角形，D、E分別是BA、CA的延長線上的點，且AD=AE，連接ED并延長到F，使得EF=EC，連接AF、CF、BE．
（1）求證：四邊形BCFD是平行四邊形；
（2）試指出圖中與AF相等的線段，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據定義兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，在本題中，因為△ABC為等邊三角形，AD、AE分別為CA、BA的延長線且AE=AD，所以△ADE也為等邊三角形，可知EF和BC平行，又因為EC=EF，所以△ECF也為等邊三角形，即CF和BD平行，來證明兩組對邊分別平行；
（2）從圖象觀察，AF在三角形ADF中，而和ADF形狀相同的是三角形ABE，所以，可試著證明兩三角形全等．
解答：證明：（1）∵△ABC為等邊三角形，且AE=AD，
∴由題可知∠AED=∠ADE=∠EAD=60°
∴EF∥BC，
又∵EC=EF，
∴△ECF為等邊三角形，即∠EFC=∠EDB=60°，
∴CF∥BD
∴四邊形BCFD為平行四邊形．

（2）AF=EB．
在△AED中，∵AE=AD，∠EAD=60°，
∴∠BAE=120°，∠EDA=60°，
∴∠ADF=120°．
即∠EAB=∠ADF，
又由（1）知DF=BC=BA，
∴△ADF≌△EAB．
∴AF=EB．
點評：本題考查了平行四邊形的判定，解題的關鍵是找準題目中的已知條件，利用平行四邊形的定義進行解題．另外此題還考查了全等的應用．