Question

（2009•姜堰市二模）如圖，拋物線與x軸的兩個交點A、B，與y軸交于點C，A點坐標為（4，0），C點坐標（0，-4）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）用直尺和圓規作出△ABC的外接圓⊙M，（不寫作法，保留作圖痕跡），并求⊙M的圓心M的坐標；
（3）將直線AC繞A點順時針旋轉67.5°后交y軸于點P，若拋物線上的點Q關于直線AP對稱的點正好落在x軸上，求Q的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于拋物線中只有兩個待定系數，因此只需將A、C兩點的坐標代入拋物線中即可求出其解析式．
（2）連接BD，AD，作BD或AD的垂直平分線，與拋物線對稱軸的交點就是圓心M．
可先根據拋物線的對稱軸來設M點的坐標，然后根據坐標系中兩點間的距離公式表示出圓心M到三角形任意兩定點的距離，由于M是△ABC的外心，因此兩條線段相等，可得出一個關于M點縱坐標的方程，即可求出M的坐標．
（3）由題意，不難得出∠QAO的度數正好是45°，如果設直線AQ與y軸的交點為H，那么H點的坐標必為（0，4）．可據此求出直線AQ的解析式，然后聯立拋物線的解析式即可求出Q點的坐標．
解答：解：（1）依題意，有：
，
解得：
因此拋物線的解析式為y=x²-x-4；

（2）由拋物線的解析式可知，其對稱軸為x=1，
因此設M（1，a）．則有：
（1-4）²+（0-a）²=1+（-4-a）²
解得a=-1
∴M（1，-1）；

（3）依題意可知：∠PAB=∠QAB=22.5°，設直線AQ與y軸交于H，∠HAO=45°，
因此H點的坐標為（0，4）．
設直線AQ的解析式為y=kx+4，則有：
0=4k+4，k=-1
∴直線AQ的解析式為y=-x+4．
依題意有：

解得：，；
∴Q（-4，8）．
點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定、尺規作圖、函數圖象交點坐標的求法、軸對稱等知識點．綜合性較強．