Question

已知△ABC，分別以AC和BC為直徑作半圓O₁，O₂，P是AB的中點，
（1）如圖1，若△ABC是等腰三角形，且AC=BC，在，上分別取點E、F，使∠AO₁E=∠BO₂F，則有結論①△PO₁E≌△FO₂P，②四邊形PO₁CO₂是菱形，請給出結論②的證明；
（2）如圖2，若（1）中△ABC是任意三角形，其他條件不變，則（1）中的兩個結論還成立嗎？若成立，請給出證明；
（3）如圖3，若PC是⊙O₁的切線，求證：AB²=BC²+3AC²．

Answer 1

【答案】分析：（1）可證明△APO₁與△BPO₂全等，則∠AO₁P=∠BO₂P，再根據已知可得出EO₁=FO₂，PO₁=PO₂，則△PO₁E≌△FO₂P，可先證明四邊形PO₁CO₂是平行四邊形，再證明CO₁=CO₂，即可得出四邊形PO₁CO₂是菱形；
（2）由已知得出①成立，而②只是平行四邊形；
（3）直角三角形APC中，設AP=c，AC=a，PC=b，則c²=a²+b2；AB²=4c²=4（a²+b²），過點B作AC的垂線，交AC的延長線于D點．則CD=a，BD=2b．BC²=a²+4b²，由此得證．
解答：解：（1）∵P、O₁、O₂分別為AB、AC、BC的中點，
∴AP=BP，AO₁=BO₂，PO₁BC，PO₂AC，
∴四邊形PO₁CO₂是平行四邊形，
∵AC=BC，∴PO₁=PO₂，
∴四邊形PO₁CO₂是菱形；

（2）∵P為AB中點，∴AP=BP，
又O₁為AC中點，∴O₁P為△ABC的中位線，
∴O₁P=O₂B=BC，同理可得O₂P=AO₁=AC，
∴△AO₁P≌△BO₂P（SSS），
∴∠AO₁P=∠BO₂P，又∠AO₁E=∠BO₂F，
∴∠AO₁P+∠AO₁E=∠BO₂P+∠BO₂F，即∠PO₁E=∠FO₂P，
又∵O₁A=O₁E=O₂P，且PO₁=BO₂=FO₂，
∴△PO₁E≌△FO₂P；
但四邊形PO₁CO₂不是菱形；

（3）Rt△APC中，設AP=c，AC=a，PC=b，
∴c²=a²+b²；AB²=4c²=4（a²+b²），
過點B作AC的垂線，交AC的延長線于D點．
∴CD=a，BD=2b，BC²=a²+4b²，
∴BC²+3AC²=a²+4b²+3a²=4（a²+b²），
∴AB²=BC²+3AC²．
點評：本題綜合考查了圓與全等的有關知識；利用中位線定理及構造三角形全等，利用全等的性質解決相關問題是解決本題的關鍵．