Question

如圖1，點O₁在y軸負半軸上，⊙O₁交坐標軸于A、B、C、D點，DO=3CO，AB=2

3

．
（1）求⊙O₁的半徑；
（2）如圖2，點P是劣弧AB上一點，連接PA、PD、PB，試給出線段PA、PD、PB之間的數量關系并證明；
（3）如圖3，點M、N同時從點A出發，其中點M沿射線AC運動，速度為每秒

3

個單位，點N沿射線AO運動，速度為每秒2個單位，設同時運動了t秒，是否存在以M為圓心、MN為半徑的⊙M與y軸相切？若存在，請求t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據設CO=x，則OD=3x，O₁A=O₁C=2x，O₁O=x，利用勾股定理求出⊙O₁的半徑；
（2）根據已知得出AC的長，進而得出，△O₁AC是等邊三角形，再證明△PAB≌△NDB（SAS），得出BN=BP，△PNB是等邊三角形，PB=BN=PN，即可得出答案；
（3）首先得出△CAO∽△NAM，進而利用MN=t．①當⊙M在y軸左側，②當⊙M在y軸右側時分別求出即可．

解答：（1）解：連接O₁A，設CO=x，
則OD=3x，O₁A=O₁C=2x，O₁O=x，
在Rt△O₁OA中，
AO=

1

2

AB=

3

，
（2x）²=（

3

）²+x²
∴x=1，
⊙O₁的半徑=2x=2．

（2）PD=PA+PB．
證明：連接AC，
則AC=

12+( 3 )2

=2，
∴△O₁AC是等邊三角形，
∴∠APD=∠DPB=60°，連接AD、DB，
在DP上截取DN=AP，連接BN，
則BD=2

3

=AB，∠PAB=∠PDB，
∵在△PAB和△NDB中，

AB=BD ∠PAB=∠BDP AP=DN

，
∴△PAB≌△NDB（SAS），
∴BN=BP，又∠DPB=60°，
∴△PNB是等邊三角形，PB=BN=PN，
∴PA+PN=PD，
∴PA+PB=PD；

（3）解：連接MN．
OA=

3

，OC=1，AC=2．AM=

3

t，AN=2t，
∴

OA

AC

=

AM

AN

=

3 t

2t

=

3

2

，
又∵∠CAO=∠MAN，
∴△CAO∽△NAM                        
∴MN=t．
①當⊙M在y軸左側作MH⊥y軸于H，則

MC

CA

=

MH

AO

=

MN

AO

即

2- 3 t

2

=

t

3

∴t=

2

5

3

，
②當⊙M在y軸右側時，作MH⊥y軸于H．

3 t-2

2

=

t

3

，
∴t=2

3

∴綜上所述，當t=

2

5

3

或t=2

3

時⊙M 與y軸相切．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及勾股定理和等邊三角形的判定與性質等知識，利用數形結合和分類討論的思想得出是解題關鍵．