Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB，垂足為E．
（1）求證：CD=BE；
（2）若AB=10，求BD的長度．

Answer 1

分析：（1）等腰直角三角形的底角為45°，角平分線上的點到兩邊的距離相等，根據這些知識用線段的等量代換可求解．
（2）先求出BC的長度，再設BD=x，可表示出CD，從而可列方程求解．

解答：（1）證明：在△ABC中，
∵∠C=90°，AC=BC，∴∠CBA=45°（1分）
∵DE⊥AB，∠CBA=45°∴在Rt△BDE中，DE=BE　（1分）
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，垂足為E，∠C=90°．（1分）
∴CD=DE　（1分）
即CD=BE（1分）

（2）解：在△ABC中，
∵∠C=90°，AC=BC，AB=10
∴BC=5

2

（1分）
在Rt△BDE中，設BD=x，
∵DE=BE∴BE=CD=

2

2

x，（1分）
列方程為：x+

2

2

x=5

2

（1分）
解得BD=x=10

2

-10（2分）

點評：本題考查了角平分線的性質，等腰三角形的性質，勾股定理等知識點．以及數形結合的思想．