Question

23、如圖，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN．B、D分別在射線AN、AM上．
（1）在圖（1）中，當∠ABC=∠ADC=90°時，求證：AD+AB=AC．
（2） 若把（1）中的條件“∠ABC=∠ADC=90°”改為∠ABC+∠ADC=180°，其他條件不變，如圖（2）所示．則（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題中條件可得，∠DCA=∠BCA=30°，在直角三角形中可得AC=2AD，AC=2AB，所以AD+AB=AC．
（2）在AN上截取AE=AC，連接CE，可得△CAE為等邊三角形，進而可得△ADC≌△EBC，即DC=BC，DA=BE，進而結論得證．

解答：（1）證明：∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，
∴∠DAC=∠BAC=60°
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠DCA=∠BCA=30°，
在Rt△ACD中，∠DCA=30°，Rt△ACB中，∠BCA=30°
∴AC=2AD，AC=2AB，
∴AD+AB=AC；

（2）解：結論AD+AB=AC成立．
理由如下：在AN上截取AE=AC，連接CE，
∵∠BAC=60°，
∴△CAE為等邊三角形，
∴AC=CE，∠AEC=60°，
∵∠DAC=60°，
∴∠DAC=∠AEC，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，
∴∠ADC=∠EBC，
∴△ADC≌△EBC，
∴DC=BC，DA=BE，
∴AD+AB=AB+BE=AE，
∴AD+AB=AC．

點評：本題主要考查了30°的直角三角形的邊角關系以及全等三角形的判定和性質問題，能夠利用其性質求解一些簡單的計算、證明問題．