Question

如圖，已知點A的坐標是（-1，0），點B的坐標是（9，0），以AB為直徑作⊙O′，交y軸的負半軸于點C，連接AC、BC，過A、B、C三點作拋物線。

（1）求點C的坐標及拋物線的解析式；
（2）點E是AC延長線上一點，∠BCE的平分線CD交⊙O′于點D，求點D的坐標；并直接寫出直線BC、直線BD的解析式；
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點P，使得∠PDB=∠CBD，若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1） ∵以AB為直徑作⊙O′，交y軸的負半軸于點C， ∴由條件可得RtΔAOC∽ RtΔCOB， ∴，由A、B坐標∴，解得OC=3（負值舍去），∴C（0，-3） 設拋物線解析式為y=a（x+1）（x-9）， ∴-3=a（0+1）（0-9），解得a=， ∴二次函數的解析式為y=（x+1）（x-9），即y=x2-x-3； （2） ∵AB為O′的直徑，且A（-1，0），B（9，0）， ∴OO′=4，O′（4，0）， ∵點E是AC延長線上一點，∠BCE的平分線CD交⊙O′于點D， ∴∠BCD=45°，連結O′D，則∠BO′D=90°（同弦BD所對的圓心角） ∴D （4，-5）， 直線BC解析式為y=x-3 、直線BD解析式為y=x-9 （3）①當DP1∥CB時，能使∠PDB=∠CBD， 又∵DP1∥CB， ∴設直線DP1的解析式為y=x+n， 把D（4，-5）代入可求n=-， ∴直線DP1解析式為y=x-， DP1與拋物線的交點滿足x-=x2-x-3 ∴點P1坐標為 ②當CQ∥BD時，求得圓上點Q（7，4），直線DQ與拋物線交于點P2 （14，25）。 （答案不唯一）