Question

如圖，在⊙C的內接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=，拋物線（a≠0）經過點A（4，0）與點（﹣2，6）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）直線m與⊙C相切于點A，交y軸于點D，動點P在線段OB上，從點O出發向點B運動，同時動點Q在線段DA上，從點D出發向點A運動，點P的速度為每秒1個單位長，點Q的速度為每秒2個單位長．當PQ⊥AD時，求運動時間t的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）y=x²﹣2x   （2）1.8秒

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數法求二次函數解析式解析式即可。

（2）連接AC交OB于E，作OF⊥AD于F，得出m∥OB，進而求出OD，OF的長，進而利用勾股定理得出DF的長�！�

解：（1）將點A（4，0）和點（﹣2，6）的坐標代入中，得方程組，

，解得。

∴拋物線的解析式為，即y=x²﹣2x。

（2）如圖所示，連接AC交OB于E．作OF⊥AD于F，

∵直線m切⊙C于點A，∴AC⊥m。

∵弦AB=AO，∴�！郃C⊥OB�！鄊∥OB。

∴∠OAD=∠AOB。

∵OA=4，tan∠AOB=，∴OD=OA•tan∠OAD=4×=3。

則OF=OA•sin∠OAD=4×=2.4。

t秒時，OP=t，DQ=2t，

若PQ⊥AD，則 FQ=OP=t．DF=DQ﹣FQ=t，

∴△ODF中，（秒）。