Question

如圖，在⊙O的內接△ABC中，AB=AC，D是⊙O上一點，AD的延長線交BC的延長線于點P．
（1）求證：AB²=AD•AP；
（2）若⊙O的直徑為25，AB=20，AD=15，求PC和DC的長．

Answer 1

分析：（1）欲證AB²=AD•AP，需證AC²=AD•AP，因此只需證△ADC∽△ACP即可；
（2）由（1）的結論可求出AP的長，過點A作直徑AE交BC于點F，用相交弦定理的推論可求出AF的長，進而可求出BF、CF的長．在Rt△APF中，已知AP、AF的長，可用勾股定理求出PF的長，進而可求出PC的長，根據割線定理，可求出PD的長．

解答：（1）證明：∵∠ADC+∠B=180°，∠B=∠ACB

∴∠ACP+∠ACB=∠ACP+∠B=180°
∴∠ADC=∠ACP
∴△ADC∽△ACP
∴

AD

AC

=

AC

AP

，即

AD

AB

=

AB

AP

所以AB²=AD•AP；

（2）解：過點A作直徑AE交BC于點F．
∵△ABC是等腰三角形，
∴AE垂直平分BC
設AF=a，則EF=25-a，BF=

400-a2

由BF²=AF•EF，得400-a²=a（25-a）
所以AF=a=16，BF=FC=12．
方法1：
由（1）AB²=AD•AP得：AP=

AB2

AD

=

400

15

=

80

3

在Rt△AFP中，PF=

AP2-AF2

=

( 80 3 )2-162

=

64

3

∴PC=PF-FC=

64

3

-12=

28

3

又由△PCD∽△PAB得：

DC

AB

=

PC

PA

∴DC=

PC•AB

PA

=

28×20

80

=7；
方法2：（前面部分給分相同）連接BE、EC、BD．
∵AE是直徑，
∴∠ABE=90°，且BE=

252-202

=15
∴EC=BE=15，又已知AD=15，∴AD=EC
∴DC∥AE，即DC⊥BC，則BD是直徑
∴DC=

BD2-BC2

=

252-242

=7
在Rt△PCD中，PD=PA-AD=

80

3

-15=

35

3

∴PC=

( 35 3 )2-72

=

28

3

．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質、圓內接四邊形的性質、等腰三角形的性質等知識的綜合應用．綜合性強，難度較大．