Question

如圖1，點(diǎn)E為矩形ABCD邊AD上一點(diǎn)，點(diǎn)P，點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P沿BE→ED→DC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，點(diǎn)Q沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，它們的運(yùn)動(dòng)速度都是1cm/s，設(shè)P，Q出發(fā)t秒時(shí)，△BPQ的面積為ycm²，已知y與t的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖2（曲線OM為拋物線的一部分），則下列結(jié)論：
①AD=BE=5cm；
②當(dāng)0＜t≤5時(shí)，y=t²；
③直線NH的解析式為y=-t+27；
④若△ABE與△QBP相似，則t=秒，
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

Answer 1

【答案】分析：據(jù)圖（2）可以判斷三角形的面積變化分為三段，可以判斷出當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)E時(shí)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C，從而得到BC、BE的長(zhǎng)度，再根據(jù)M、N是從5秒到7秒，可得ED的長(zhǎng)度，然后表示出AE的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)度，然后針對(duì)各小題分析解答即可．
解答：解：根據(jù)圖（2）可得，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)E時(shí)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C，
∵點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)的速度都是1cm/秒，
∴BC=BE=5cm，
∴AD=BE=5，故①正確；

如圖（1）過點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F，
根據(jù)面積不變時(shí)△BPQ的面積為10，可得AB=4，

∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠PBF，
∴sin∠PBF=sin∠AEB==，
∴PF=PBsin∠PBF=t，
∴當(dāng)0＜t≤5時(shí)，y=BQ•PF=t•t=t²，故②選項(xiàng)正確；

根據(jù)5-7秒面積不變，可得ED=2，
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，面積變?yōu)?，此時(shí)點(diǎn)P走過的路程為BE+ED+DC=11，
故點(diǎn)H的坐標(biāo)為（11，0），
設(shè)直線NH的解析式為y=kx+b，
將點(diǎn)H（11，0），點(diǎn)N（7，10）代入可得：，
解得：，
故直線NH的解析式為：y=-x+．故③錯(cuò)誤；

如圖所示，當(dāng)△ABE與△QBP相似時(shí)，點(diǎn)P在DC上，如圖2所示：
∵tan∠PBQ=tan∠ABE=，
∴=，即=，
解得：t=．
綜上可得①②④正確，共3個(gè)．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用及動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，根據(jù)圖（2）判斷出點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)E時(shí)，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C是解題的關(guān)鍵，也是本題的突破口，難度較大．