Question

某數學興趣小組開展了一次活動，過程如下：
設∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）．現把小棒依次擺放在兩射線之間，并使小棒兩端分別落在射線AB，AC上．
活動一：
如圖甲所示，從點A₁開始，依次向右擺放小棒，使小棒與小棒在端點處互相垂直，A₁A₂為第1根小棒．
數學思考：
（1）小棒能無限擺下去嗎？答：　_________　．（填“能”或“不能”）
（2）設AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1．
①θ=　_________　度；
②若記小棒A_2n﹣1A_2n的長度為a_n（n為正整數，如A₁A₂=a₁，A₃A₄=a₂，…）求出此時a₂，a₃的值，并直接寫出a_n（用含n的式子表示）．

活動二：
如圖乙所示，從點A₁開始，用等長的小棒依次向右擺放，其中A₁A₂為第1根小棒，且A₁A₂₌AA₁．
數學思考：
（3）若已經擺放了3根小棒，θ₁=　_________　，θ₂=　_________　，θ₃=　_________　；（用含θ的式子表示）
（4）若只能擺放4根小棒，求θ的范圍．

Answer 1

（1）能 （2）①θ=22.5°   ②      （3）θ₁=2θ，θ₂=3θ，θ₃=4θ
（4）18°≤θ＜22.5°

試題分析：（1）能．
因為角的兩條邊為兩條射線，沒有長度，所以小棒可以無限擺放下去；
（2）①∵AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1，A₁A₂⊥A₂A₃
∴θ₂=45°，
θ=22.5°．
故答案為22.5；
②∵AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1，A₁A₂⊥A₂A₃，
∴A₁A₃=，AA₃=．
又∵A₂A₃⊥A₃A₄，
∴A₁A₂∥A₃A₄．
同理：A₃A₄∥A₅A₆，
∴∠A=∠AA₂A₁=∠AA₄A₃=∠AA₆A₅，
∴AA₃=A₃A₄，AA₅=A₅A₆
∴a₂=A₃A₄=AA₃=，
a₃=AA₃+A₃A₅=a₂+A₃A₅．
∵A₃A₅=a₂，
∴a₃=A₅A₆=AA₅=．
∴；
（3）∵A₁A₂₌AA₁
∴θ₁=∠A₂A₁A₃=2θ，
∴θ₂=∠A₂A₄A₃=θ+2θ=3θ，
∴θ₃=∠A₂A₄A₃+θ=4θ，
故答案為θ₁=2θ，θ₂=3θ，θ₃=4θ；
（4）由題意得：
，
∴18°≤θ＜22.5°．
點評：本題主要考查相似三角形的判定和性質、勾股定理、解一元一次不等式、等腰直角三角形的性質等知識點，解題的關鍵在于找到等量關系，求相關角的度數等．