Question

已知：如圖，銳角△ABC的兩條高BD、CE相交于點O，且OB＝OC．

（1）求證：△ABC是等腰三角形；

（2）判斷點O是否在∠BAC的角平分線上，并說明理由．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）點O在∠BAC的角平分線上，理由詳見解析．

【解析】

試題分析：（1）由OB=OC，即可求得∠OBC=∠OCB，又由，銳角△ABC的兩條高BD、CE相交于點O，根據三角形的內角和等于180°，即可證得△ABC是等腰三角形；

（2）首先連接AO并延長交BC于F，通過證△AOB≌△AOC（SSS），得到∠BAF=∠CAF，即點O在∠BAC的角平分線上．

試題解析：（1）證明：∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∵銳角△ABC的兩條高BD、CE相交于點O，

∴∠BEC=∠BDC=90°，

∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠BDC+∠DBC+∠ACB=180°，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）【解析】
點O在∠BAC的角平分線上．理由：連接AO并延長交BC于F，

∵AB=AC，OB=OC，

又∵OA=OA，△AOB≌△AOC．

∴∠BAF=∠CAF，

∴點O在∠BAC的角平分線上．

考點：1、全等三角形的判定和性質；2、等腰三角形的判定；3、角平分線的判定．