Question

【題目】【數學概念】

若四邊形ABCD的四條邊滿足ABCDADBC，則稱四邊形ABCD是和諧四邊形．

【特例辨別】

（1）下列四邊形：①平行四邊形，②矩形，③菱形，④正方形．其中一定是和諧四邊形的是________．

【概念判定】

（2）如圖①，過⊙O外一點P引圓的兩條切線PS、PT，切點分別為A、C，過點P 作一條射線PM，分別交⊙O于點B、D，連接AB、BC、CD、DA．求證：四邊形ABCD是和諧四邊形．

【知識應用】

（3）如圖②，CD是⊙O的直徑，和諧四邊形ABCD內接于⊙O，且BCAD．請直接寫出AB與CD的關系．

Answer 1

【答案】③④

【解析】分析：（1）由于菱形和正方形的四條邊相等，因此對邊的乘積相等，所以菱形和正方形是和諧四邊形；

（2）連接CO并延長，交⊙O于點E，連接BE．通過證明△PBC∽△PCD，得．同理，．由PA、PC為⊙O的切線，得PAPC，故，所以ABCDADBC，所以四邊形ABCD是和諧四邊形．

（3）AB∥CD ，CD3AB．

詳解：（1）③④．

（2）證明：連接CO并延長，交⊙O于點E，連接BE．

∵PT是⊙O的切線，切點為C，

∴∠PCE90°．

∴∠PCB∠ECB90°．

∵CE是⊙O的直徑，

∴∠CBE90°，

∴∠BEC∠ECB90°，

∴∠BEC∠PCB．

又∵∠BEC∠BDC，∴∠PCB∠BDC．

又∵∠BPC∠CPD，∴△PBC∽△PCD，

∴．

同理，．

∵PA、PC為⊙O的切線，

∴PAPC，

∴．

∴ABCDADBC．

∴四邊形ABCD是和諧四邊形．

（3）AB∥CD ，CD3AB．