Question

如圖，反比例函數（x＞0）的圖象經過線段OA的端點A，O為原點，作AB⊥x軸于點B，點B的坐標為（2，0），tan∠AOB=．
（1）求k的值；
（2）將線段AB沿x軸正方向平移到線段DC的位置，反比例函數（x＞0）的圖象恰好經過DC的中點E，求直線AE的函數表達式；
（3）若直線AE與x軸交于點M、與y軸交于點N，請你探索線段AN與線段ME的大小關系，寫出你的結論并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）在直角△AOB中利用三角函數求得A的坐標，然后利用待定系數法即可求得k的值；
（2）已知E是DC的中點，則E的縱坐標已知，代入反比例函數的解析式即可求得E的坐標，然后利用待定系數法即可求得直線的解析式；
（3）首先求得M、N的坐標，延長DA交y軸于點F，則AF⊥ON，利用勾股定理求得AN和EM的長，即可證得．
解答：解：（1）由已知條件得，在Rt△OAB中，OB=2，tan∠AOB=，∴=，
∴AB=3，∴A點的坐標為（2，3）…（1分）
∴k=xy=6…（2分）
（2）∵DC由AB平移得到，點E為DC的中點，
∴點E的縱坐標為，…（3分）
又∵點E在雙曲線上，∴點E的坐標為（4，）…（4分）
設直線MN的函數表達式為y=k₁x+b，則，解得，∴直線MN的函數表達式為．…（5分）

（3）結論：AN=ME…（6分）
理由：在表達式中，令y=0可得x=6，令x=0可得y=，
∴點M（6，0），N（0，）…（7分）
解法一：延長DA交y軸于點F，則AF⊥ON，且AF=2，OF=3，
∴NF=ON-OF=，
∴根據勾股定理可得AN=…（8分）
∵CM=6-4=2，EC=
∴根據勾股定理可得EM=
∴AN=ME…（9分）
解法二：連接OE，延長DA交y軸于點F，則AF⊥ON，且AF=2，
∵S_△EOM=，S_△AON=…（8分）
∴S_△EOM=S_△AON，
∵AN和ME邊上的高相等，
∴AN=ME…（9分）
點評：本題是待定系數法求一次函數的解析式，以及勾股定理的綜合應用，求得E的坐標是關鍵．