Question

在平面直角坐標系xOy中，邊長為a（a為大于0的常數）的正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點P，頂點A在x軸正半軸上運動，頂點B在y軸正半軸上運動（x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點O），頂點C、D都在第一象限。
（1）當∠BAO=45°時，求點P的坐標；
（2）求證：無論點A在x軸正半軸上、點B在y軸正半軸上怎樣運動，點P都在∠AOB的平分線上；
（3）設點P到x軸的距離為h，試確定h的取值范圍，并說明理由。

Answer 1

解：（1）當∠BAO=45°時，四邊形OAPB為正方形 OA=OB=a·cos45°=a ∴P點坐標為（a，a）
（2）作DE⊥x軸于E，PF ⊥x軸于F， 設A點坐標為（m，0），B點坐標為（0，n） ∵∠BAO+∠DAE=∠BAO+∠ABO=90° ∴∠DAE=∠ABO 在△AOB和△DEA中： ∴△AOB≌和△DEA（AAS） ∴AE=0B=n，DE=OA=m， 則D點坐標為（m+n，m） ∵點P為BD的中點，且B點坐標為（0，n） ∴P點坐標為（，） ∴PF=OF= ∴∠POF=45°， ∴OP平分∠AOB， 即無論點A在x軸正半軸上、點B在y軸正半軸上怎樣運動，點P都在∠AOB的平分線上；
（3）當A，B分別在x軸正半軸和y軸正半軸上運動時，設PF與PA的夾角為α，則0°≤α＜45° h=PF=PA·cosα=a·cosα， ∵0°≤α＜45°， ∴＜cosα≤1， ∴a＜h≤a 。