Question

已知：如圖，△DAC、△EBC均是等邊三角形，點A、C、B在同一條直線上，且AE、BD分別與CD、CE交于點M、N．求證：
（1）AE=DB；
（2）△CMN為等邊三角形．

Answer 1

分析：（1）根據△DAC、△EBC均是等邊三角形，求證△ACE≌△DCB（SAS）即可得出結論．
（2）由（1）可知：△ACE≌△DCB，和△DAC、△EBC均是等邊三角形，求證△ACM≌△DCN（ASA）即可得出結論．

解答：證明：（1）∵△DAC、△EBC均是等邊三角形，
∴AC=DC，EC=BC，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB．
在△ACE和△DCB中，

AC=DC ∠ACE=∠DCB EC=BC

∴△ACE≌△DCB（SAS）．∴AE=DB．

（2）由（1）可知：△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB，即∠CAM=∠CDN．
∵△DAC、△EBC均是等邊三角形，
∴AC=DC，∠ACM=∠BCE=60°．
又點A、C、B在同一條直線上，
∴∠DCE=180°-∠ACD-∠BCE=180°-60°-60°=60°，
即∠DCN=60°．∴∠ACM=∠DCN．
在△ACM和△DCN中，

∠CAM=∠CDN AC=DC ∠ACM=∠DCN

∴△ACM≌△DCN（ASA）．
∴CM=CN．又∠DCN=60°，
∴△CMN為等邊三角形．

點評：此題主要考查學生對等邊三角形的性質與判定、全等三角形的判定與性質、三角形內角和定理等知識點的理解和掌握，此題難度不大，但是步驟繁瑣，屬于中檔題．