Question

已知：如圖，△DAC、△EBC均是等邊三角形，點A、C、B在同一條直線上，且AE、BD分別與CD、CE交于點M、N.

求證：（1）AE=DB；
（2）△CMN為等邊三角形.

Answer 1

證明略解析:
證明：(1)∵△DAC、△EBC均是等邊三角形，
∴AC＝DC，EC＝BC，∠ACD＝∠BCE＝60°，…………  2分
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，
即∠ACE＝∠DCB．                  ………………  3分
在△ACE和△DCB中，

∴△ACE≌△DCB(SAS)．             …………  5分
∴AE＝DB．                          ………………  6分
(2)由(1)可知：△ACE≌△DCB，
∴∠CAE＝∠CDB，
即∠CAM＝∠CDN．              ………………  7分
∵△DAC、△EBC均是等邊三角形，
∴AC＝DC，∠ACM＝∠BCE＝60°．
又點A、C、B在同一條直線上，
∴∠DCE＝180°－∠ACD－∠BCE＝180°－60°－60°＝60°，
即∠DCN＝60°．                                  
∴∠ACM＝∠DCN．                     …………  8分
在△ACM和△DCN中，

∴△ACM≌△DCN(ASA)．          ………………  10分
∴CM＝CN．                  ………………  11分
又∠DCN＝60°，
∴△CMN為等邊三角形．                      ……………12分