Question

東方專賣店專銷某種品牌的計算器，進價l2元/只，售價20元/只．為了促銷，專賣店決定凡是買10只以上的，每多買一只，售價就降低O.10元（例如．某人買20只計算器，于是每只降價O.10×（20-10）=1元，就可以按19元/只的價格購買），但是最低價為16元/只．
（1）求顧客一次至少買多少只，才能以最低價購買？
（2）寫出當一次購買x只時（x＞10），利潤y（元）與購買量x（只）之間的函數關系式；
（3）有一天，一位顧客買了46只，另一位顧客買了50只，專賣店發現賣了50只反而比賣46只賺的錢少，為了使每次賣的多，賺錢也多，在其他促銷條件不變的情況下，最低價16元/只至少要提高到多少？為什么
東方專賣店專銷某種品牌的計算器，進價12元/只，售價20元/只．為了促銷，專賣店決定凡是買10只以上的，每多買一只，售價就降低O.10元（例如．某人買20只計算器，于是每只降價O.10×（20-10）=1元，就可以按19元/只的價格購買），但是最低價為16元/只．
（1）求顧客一次至少買多少只，才能以最低價購買？
（2）一位顧客一次購買了若干只計算器，專賣店共獲利潤180元，請你求該顧客所購買的計算器的數量．
（3）有一天，一位顧客買了46只，另一位顧客買了50只，專賣店發現賣了50只反而比賣46只賺的錢少，為了使每次賣的多賺錢也多，在其他促銷條件不變的情況下，最低價16元/只至少要提高到多少？
以下是小麗在探索該問題時所列的計算器數量與利潤關系表格的一部分，請你根據表格繼續探索…

x只		40	41	42	43	44	45	46	47	48	19	50
利潤（元）		200	200.9	201.6	202.1	202.4	202.5	202.4	202.1	201.6	200.9	200

Answer 1

①解：（1）設需要購買x只，
則20-0.1（x-10）=16，
得x=50，
故一次至少要購買50只；
（2）當10＜x≤50時，y=[20-12-0.1（x-10）]x，即y=-0.1x²+9x，
當x＞50時，y=（20-16）x，即y=4x，
綜上可得：y=．
（3）當10＜x≤50時，y=-0.1x²+9x，
當x=-=45時，y有最大值202.5元；
此時售價為20-0.1×（45-10）=16.5（元），
故最低價至少要提高到16.5元/只．

②解：（1）設需要購買x只，
則20-0.1（x-10）=16，
得x=50，
故一次至少要購買50只；
（2）當0≤x≤10時，y=（20-12）x=8x，即y=8x，
把y=180代入，解得x=22.5（舍去）；
當10＜x≤50時，y=[20-12-0.1（x-10）]x，即y=-0.1x²+9x，
把y=180代入，解得x₁=30，x₂=60（舍去）；
當x＞50時，y=（20-16）x，即y=4x，
把y=180代入，解得x=45（舍去）．
故該顧客此次所購買的數量是30只．
（3）當10＜x≤50時，y=-0.1x²+9x，
當x=-=45時，y有最大值202.5元；
此時售價為20-0.1×（45-10）=16.5（元），
故最低價至少要提高到16.5元/只．
分析：①
（1）理解促銷方案，正確表示售價，得方程求解；
（2）當x=50時，會以最低價購買，所以分類討論，①10＜x≤50，②x＞50，分別得出y與x的表達式即可．
（3）求出取得最大利潤時的售價，根據函數性質解釋現象，進一步解決問題．
②
（1）理解促銷方案，正確表示售價，得方程求解；
（2）因為設了最低價，所以超過一定數量也按最低價銷售，不再打折，所以需分類討論；先得出y與x的關系式，令y=180，解出x的值，即可作出判斷．
（3）求出取得最大利潤時的售價，根據函數性質解釋現象，進一步解決問題．
點評：此題主要考查了函數的綜合應用，根據函數的對稱性討論最大值問題，需考慮自變量的取值范圍，難度較大．