Question

如圖，已知在Rt△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O交BC于點F，連結OC交⊙O于點D，連結BD并延長交AC于點E，連結DF．
（1）求證：∠CFD=∠AEB；
（2）已知AB=4，求AE的長．

Answer 1

分析：（1）如圖，連接AD．由圓周角定理和圓內接四邊形的性質推知∠ADB=90°，∠CFD=∠BAD．然后根據同角的余角相等證得∠DAB=∠BEA，則易證∠CFD=∠AEB．   
（2）延長CO交⊙O于點G，連接AG．由△CDE∽△CGA的對應邊成比例得到CD：CG=CE：CA，DG：CG=EA：CA，即4：（2+2

5

）=EA：4，易求AE的長度．

解答：（1）證明：如圖，連接AD．
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°．
∵點A、D、F、B四點共圓，
∴∠CFD=∠BAD．
又∵∠DBA+∠DAB=90°，∠DBA+∠BEA=90°，
∴∠DAB=∠BEA，
∴∠CFD=∠AEB．   

（2）延長CO交⊙O于點G，連接AG．
在Rt△ACO中，OA=2，AC=4，
∴根據勾股定理，得到OC=

OA2+AC2

=2

5

，
∴CG=2+2

5

∵AB、GB分別為⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠GAD=90°，
∴DE∥AG，
∴△CDE∽△CGA
∴CD：CG=CE：CA，DG：CG=EA：CA，即4：（2+2

5

）=EA：4，
∴EA=2

5

-2．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質以及圓周角定理．解題時，注意輔助線的作法．