Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，OD⊥AC于點D，過點C作⊙O的切線，交OD的延長線與點E，連接AE．
（1）求證：AE與⊙O相切；
（2）連接BD并延長交AE于點F，若EC∥AB，OA=6，求AF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，由CE為圓O的切線，利用切線的性質得到∠OCE=90°，再由OA=OC，OD垂直于AC，利用三線合一得到一對角相等，利用SAS得到三角形COE與三角形AOE全等，由全等三角形的對應角相等得到∠OAE=∠OCE=90°，利用垂直的定義得到AE與AO垂直，即可得證；
（2）設BF與OC交于點G，由EC與AB平行，利用兩直線平行同旁內角互補，及三個角為直角的四邊形為矩形得到四邊形AECO為矩形，再由OA=OC，得到四邊形AECO為正方形，可得出OG平行于AE，AE=AO=6，OD=ED，由OG與AF平行，利用平行線得比例得到OG=EF，再由OG與AF平行，得到比例式，得到AF=2OG=2EF，即可求出AF的長．
解答：（1）證明：連接OC，
∵CE是⊙O的切線，
∴∠OCE=90°，
∵OA=OC，OD⊥AC，
∴∠COE=∠AOE，
∵在△COE和△AOE中，
，
∴△COE≌△AOE（SAS），
∴∠OAE=∠OCE=90°，
∴OA⊥AE，
∴AE與⊙O相切；

（2）解：設BF與OC相交于點G，
∵EC∥AB，
∴∠AEC=∠OAE=90°，
∵∠AEC=∠OAE=∠OCE=90°，
∴四邊形OAEC是矩形，
∵OA=OC，
∴矩形OAEC是正方形，
∴OG∥AE，AE=AO=6，OD=ED，
∵OG∥AE，
∴==1，
∴OG=EF，
∵OG∥AE，
∴==，
∴=，
∴AF=AE=×6=4．
點評：此題考查了切線的判定與性質，全等三角形的判定與性質，正方形的判定與性質，熟練掌握切線的判定與性質是解本題的關鍵．