Question

已知曲線C1：y=x3，曲線C₂：y=x³-3x²+3x
（1）求C1：y=x3過點（1，1）的切線方程；
（2）曲線C₁經過何種變化可得到曲線C₂？

Answer 1

分析：（1）設出切點坐標，求出曲線在切點處的導數，運用點斜式寫出切線方程，把點（1，1）代入切線方程求解切點的橫坐標，然后再把求得的切點橫坐標代回切線方程即可；
（2）把曲線C₂：y=x³-3x²+3x變形為y=（x-1）³+1，則直觀看出該函數圖象是把曲線C1：y=x3經過如何變化得到的．

解答：解：（1）設切點為P（x0，x03），則f′(x0)=3x02，
所以，過點P的切線方程為：y-x03=3x02(x-x0)，
因為切線過點（1，1），所以有1-x03=3x02(1-x0)，
整理得：2x03-3x02+1=0，即2x03-2x02-x02+1=0，所以，2x02(x0-1)-(x0-1)(x0+1)=0，
也就是(x0-1)(2x02-x0-1)=0，解得：x₀=1或x0=-

1

2

．
所以，當（1，1）為切點時，過點（1，1）的切線方程為：y-1=3（x-1），即y=3x-2．
當（1，1）不是切點時，過點（1，1）的切線方程為：y-(-

1

2

)3=3×(-

1

2

)2×[x-(-

1

2

)]，即y=

3

4

x+

1

4

．
（2）由y=x³-3x²+3x=x³-3x²+3x-1+1=（x-1）³+1．
所以y=x³-3x²+3x是把y=x³向右平移一個單位，再向上平移一個單位得到的．
即曲線C₁向右平移一個單位，再向上平移一個單位得到曲線C₂．

點評：本題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，解答該題時一定要區分是求的曲線在某點處的切線方程還是過某點的切線方程，若是求的曲線在某點處的切線方程，則該點為切點，切線方程唯一，若求的是過某點的切線方程，則該點不見得是切點，需要設切點坐標．此題是好題，也是易錯題，屬中檔題．