Question

已知曲線C1：y=x2-1與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，圓C₂經過A，B，C三點．
（1）求圓C₂的方程；
（2）過點P（0，m）（m＜-1）的直線l與圓C₂相切，試探討直線l與曲線C₁的位置關系．

Answer 1

分析：（1）由題意可得A（-1，0），B（1，0），C（0，-1），得|OA|=|OB|=|OC|，從而可求圓C₂的方程；
（2）由題意可知直線的斜率存在，可設其方程為y=kx+m，根據直線與圓相切，得

|m|

k2+1

=1，即k²=m²-1
聯立直線l與曲線C₁的方程消元，確定方程的判別式，根據判別式，即可確定直線l與曲線C₁的位置關系．

解答：解：（1）由題意可得A（-1，0），B（1，0），C（0，-1），得|OA|=|OB|=|OC|，所以圓C₂的方程為x²+y²=1；
（2）由題意可知直線的斜率存在，可設其方程為y=kx+m
由直線與圓相切，得

|m|

k2+1

=1，∴k²=m²-1
聯立直線l與曲線C₁的方程可得

y=kx+m y=x2-1

，消元可得x²-kx-m-1=0
△=k²+4m+4=m²+4m+3
當△＜0時，即-3＜m＜-1時，直線l與曲線C₁沒有公共點；
當△＜0時，即m=-3時，直線l與曲線C₁有且只有一個公共點；
當△＜0時，即m＜-3時，直線l與曲線C₁有兩個公共點．

點評：本題考查圓的標準方程，考查直線與圓的位置關系，聯立方程組，利用判別式是解題的關鍵．