Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5．點P從點A出發，以每秒5個單位

長度的速度沿AC方向運動，過點P作PQ⊥AB于點Q，當點Q和點B重合時，點P停止運動，以AP和AQ為邊作APHQ．設點P的運動時間為t秒（t＞0）

（1）線段PQ的長為　 　．（用含t的代數式表示）

（2）當點H落在邊BC上時，求t的值．

（3）當APHQ與△ABC的重疊部分圖形為四邊形時，設四邊形的面積為S，求S與t之間的函數關系式．

（4）過點C作直線CD⊥AB于點D，當直線CD將APHQ分成兩部分圖形的面積比為1：7時，直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）4t；（2）t=；（3）當0＜t≤時， S=12t2，當≤t≤時，S==﹣t2+t；（4）t的值為或s．

【解析】

（1）利用勾股定理求出BC，再根據sinA=，構建方程即可解決問題；

（2）如圖2中，因為QH∥AC，可得，由此構建方程即可解決問題；

（3）兩種情形分別求解：①如圖3中，當0＜t≤時，重疊部分是四邊形APHQ．②如圖4中，當≤t≤時，重疊部分是四邊形ACMQ；

（4）兩種情形畫出圖形分別利用三角形的中位線定理求解即可；

（1）如圖1中，

在Rt△ACB中，∵AC=3，AB=5，∠C=90°，

∴BC==4，

∵AP=5t，sinA=，

∴，

∴PQ=4t，AQ==3t．

故答案為4t．

（2）如圖2中，當點H落在BC上時．

∵QH∥AC，

∴，

∴，

∴t=．

（3）①如圖3中，當0＜t≤時，重疊部分是四邊形APHQ．S=12t2．

②如圖4中，當≤t≤時，重疊部分是四邊形ACMQ，

S==﹣t2+t．

（4）①如圖5中，∵S△HEF：S五邊形EQAPF=1：7，CD∥PQ，

∴EF是△HPQ的中位線．

∵cos∠A=，

∴AD=，

∵QH∥AC，

∴∠DQE=∠A，

∴cos∠DQE=cos∠A=，

∴=，

∴=，

∴t=．

②如圖6中，當S△ADC：S五邊形CDQHP=1：7時，CD是△APQ的中位線．

∴AQ=2AD，

∴3t=2×，

∴t=．

綜上所述，滿足條件的t的值為或s．