Question

（2005•三明）如圖，已知⊙O₁和⊙O₂相交于A、B兩點，直線CD、EF過點B交⊙O₁于點C、E，交⊙O₂于點D、F．
（1）求證：△ACD∽△AEF；
（2）若AB⊥CD，且在△AEF中，AF、AE、EF的長分別為3、4、5，求證：AC是⊙O₂的切線．

Answer 1

【答案】分析：（1）兩角對應相等可以判定△ACD∽△AEF．
（2）由勾股定理得出∠EAF=90°，證明AC是⊙O₂的切線，AC⊥AD是關鍵，通過△ACD∽△AEF得以證明．
解答：證明：（1）∵在⊙O₁中，∠C=∠E，
∵∠D=∠F，
∴△ACD∽△AEF；

（2）∵AB⊥CD，即∠ABD=90°，
∴AD是⊙O₂的直徑，
∵在△AEF中，AF²+AE²=3²+4²=5²=EF²，
∴∠EAF=90°，
由（1）得△ACD∽△AEF，
∴∠CAD=∠EAF=90°，
∴AC⊥AD，
又∵AD是⊙O₂的直徑，
∴AC是⊙O₂的切線．
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質及切線的判定的綜合運用．