Question

如圖，點B、C、D都在⊙O上，過點C作AC∥BD交OB延長線于點A，連接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=6

3

cm．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）求⊙O的半徑長；
（3）求由弦CD、BD與弧BC所圍成的陰影部分的面積（結果保留π）．

Answer 1

分析：（1）連接CO，由角的等量關系可以證得∠ACO=90°，即能證得切線存在，
（2）由AC∥BD得到∠BEO=∠ACO=90°，在Rt△BEO中解得OB，
（3）首先證明△CDE≌△OBE，陰影部分面積等于S_扇形OBC．

解答：（1）證明：連接CO．
∵∠CDB=∠OBD=30°，
∴∠BOC=60°．（1分）
∵AC∥BD，
∴∠A=∠OBD=30°．
∴∠ACO=90°．
∴AC為⊙O切線．（2分）

（2）解：∵∠ACO=90°，AC∥BD，
∴∠BEO=∠ACO=90°．
∴DE=BE=

1

2

BD=3

3

．（3分）
在Rt△BEO中，sin∠O=sin60°=

BE

OB

，
∴

3

2

=

3 3

OB

．∴OB=6．
即⊙O的半徑長為6cm．（4分）

（3）解：∵∠CDB=∠OBD=30°，
又∵∠CED=∠BEO，BE=ED，∴△CDE≌△OBE．
∴S陰=S扇OBC=

60π×62

360

=6π（cm²）（5分）
答：陰影部分的面積為6πcm²．

點評：本題考查了切線的判定，扇形面積的計算和解直角三角形等知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．