Question

某化工廠現有甲種原料7噸，乙種原料5噸，現計劃用這兩種原料生產兩種不同的化工產品A和B共8噸，已知生產每噸A，B產品所需的甲、乙兩種原料如下表：

	甲原料	乙原料
A產品	0.6噸	0.8噸
B產品	1.1噸	0.4噸

銷售A，B兩種產品獲得的利潤分別為0.45萬元/噸、0.5萬元/噸．若設化工廠生產A產品x噸，且銷售這兩種產品所獲得的總利潤為y萬元．
（1）求y與x的函數關系式，并求出x的取值范圍；
（2）問化工廠生產A產品多少噸時，所獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

解：（1）據題意得：
y=0.45x+（8-x）×0.5=-0.05x+4，
因為生產兩種產品所需的甲種原料為：0.6x+1.1×（8-x），
所需的乙種原料為：0.8x+0.4×（8-x），
則可得不等式組，
解得3.6≤x≤4.5；

（2）因為函數關系式y=-0.05x+4中的-0.05＜0，
所以y隨x的增大而減小．
則由（1）可知當x=3.6時，y取最大值，且為3.82萬元．
答：化工廠生產A產品3.6噸時，所獲得的利潤最大，最大利潤是3.82萬元．
分析：（1）求函數關系式不難．求x的取值范圍要考慮甲乙兩種原材料的數量．
（2）因為利潤與產品A的關系式已求出，根據函數性質，結合自變量的取值范圍即可求出函數的最值．
點評：此題為一次函數的綜合應用，有一定難度．求自變量的取值范圍涉及到解不等式組；求最值要根據性質結合自變量的取值范圍求解．