Question

已知反比例函數y=和一次函數y=2x-1，其中一次函數的圖象經過（a，b）、（a+1，b+k）兩點．
（1）求反比例函數的解析式；
（2）若兩個函數圖象在第一象限內的交點為A（1，m），請問：在x軸上是否存在點B，使△AOB為直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點B的坐標；
（3）若直線y=-x+交x軸于C，交y軸于D，點P為反比例函數y=（x＞0）的圖象上一點，過P作y軸的平行線交直線CD于E，過P作x軸的平行線交直線CD于F，求證：DE•CF為定值．

Answer 1

解：（1）∵y=2x-1的圖象經過（a，b）、（a+1，b+k）兩點，
∴，
∴k=2，
∴反比例函數的解析式為y=；

（2）∵A（1，m）在反比例函數y=上，
∴A（1，1），
若∠ABO=90°，則B（1，0）；
若∠OAB=90°，則B（2，0）．
∴在x軸上存在點B，使△AOB為直角三角形，且滿足條件的點B有兩個，
即：B₁（1，0），B₂（2，0）；

（3）設P（x，y），
∵直線y=-x+交x軸于C，交y軸于D，
∴C（0.5，0），D（0，0.5），
∴△OCD為等腰直角三角形．
作FM⊥x軸于M，EN⊥y軸于N，
則△FMC、△DEN為等腰直角三角形，
∴FC=FM=y，DE=EN=x，
∴DE•CF=2xy，
∵P（x，y）在y=上，
∴xy=1，
∴DE•CF=2．
分析：（1）把（a，b）、（a+1，b+k）分別代入y=2x-1，轉化為關于未知系數的方程組解答；
（2）求出A點坐標，即可根據圖形特征找到B點坐標；
（3）作FM⊥x軸于M，EN⊥y軸于N，構造等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質，將DE•CF轉化為反比例函數系數的倍數解答．
點評：本題考查了用待定系數法求解析式和函數圖象的交點坐標與函數解析式組成的方程組的解的關系，構造等腰直角三角形也是解答此題的關鍵．