Question

如圖，已知反比例函數y₁=和一次函數y₂=ax+b的圖象相交于第一象限內的點A，且點A的橫坐標為1．過點A作AB⊥x軸于點B，△AOB的面積為2．一次函數y₂=ax+b的圖象與x軸相交于點C，且三角形ABC是等腰直角三角形．
（1）求反比例函數和一次函數的解析式；
（2）結合圖象直接寫出：當y₁＞y₂時，x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵點A的橫坐標為1，即OB=1，△AOB的面積為2，
∴•OB•AB=2，解得AB=4，
∴A點坐標為（1，4），
把A（1，4）代入反比例函數y₁=，得k=1×4=4，
∴反比例函數的解析式為y=；
又∵三角形ABC是等腰直角三角形，
∴BC=BA=4，
∴OC=3，
∴C點坐標為（-3，0），
把A（1，4）和C（-3，0）代入y₂=ax+b得，k+b=4，-3k+b=0，解得k=1，b=3，
∴一次函數的解析式y=x+3；

（2）聯立y=和y=x+3，解得x=1，y=4；x=-4，y=-1，
∴兩圖象的另一個交點坐標為（-4，-1），
觀察圖象，當y₁＞y₂時，即反比例圖象在一次函數圖象上方所對應的x的范圍為：x＜-4或0＜x＜1．
分析：（1）由點A的橫坐標為1，即OB=1，△AOB的面積為2得到AB=4，確定A點坐標為（1，4），把它代入反比例函數y₁=確定k=4；又三角形ABC是等腰直角三角形，得到BC=BA=4，則OC=3，確定C點坐標為（-3，0），然后利用待定系數法求一次函數的解析式；
（2）把y=和y=x+3聯立起來解得到兩圖象的另一個交點坐標為（-4，-1），通過觀察圖象找出反比例圖象在一次函數圖象上方所對應的x的范圍即可．
點評：本題考查了解反比例函數綜合題的方法：通過幾何條件確定點的坐標，然后利用待定系數法求函數圖象的解析式，再運用反比例函數的性質解決問題．也考查了觀察圖象的能力．