Question

已知梯形AOCD在直角坐標系中的位置如圖1所示，其中AD∥OC，AO⊥OC，且CD=5，若C點的坐標為C（5，0），tan∠DCO=

4

3

（1）求D點的坐標及過C、D、O三點的拋物線解析式；
（2）動點P在線段OA上自O點出發向A點運動，速度為每秒1個單位，同時動點Q自A點出發以相同的速度，沿折線A-D-C運動，當其中一點到達終點時另一點也立即停止運動．設△APQ的面積為S，求S與運動時間t的函數關系式，并寫出相應的t的取值范圍．
（3）當（2）中的S取最大值時，過Q作QE⊥x軸于E，此時，拋物線上是否存在點M，使S_△OPM=S_△QEM？若存在，求出M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據tan∠DCO=

4

3

，以及CD=5，得出DE=4，CE=3，再利用待定系數法求二次函數解析式即可．
（2）根據0＜x≤2 時，以及2＜x≤4時，分別得出即可；
（3）根據二次函數最值以及三角形面積求法得出即可．

解答：解：（1）作DE⊥CO，
∵CD=5，C點的坐標為C（5，0），
tan∠DCO=

4

3

，
∴

DE

EC

=

4

3

，
∴DE=4，CE=3，
∴AD=2，
∴D（2，4），
將O（0，0），D（2，4），C（5，0）代入解析式：

c=0 4a+2b+c=4 25a+5b+c=0

，
解得：

a=- 2 3 b= 10 3 c=0

．
∴y=-

2

3

x²+

10

3

x；

（2）0＜x≤2 時，
S=

1

2

（4-t）t=-

1

2

t²+2t，
2＜x≤4時，
S=-

3

10

（ t-

4

3

）²+

32

15

=-

3

10

t²+

4

5

t+

8

5

；

（3）∵t=2時，S_最大=2，
當S_△OPM=S_△QEM，PO=2，DE=4，
∴PM=2AD=4，
∴M₁（4，

8

3

），
同理可得 M₂（

4

3

，

88

27

）．

點評：此題主要考查了待定系數法求二次函數解析式以及二次函數最值求法和三角形面積求法等知識，在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．