Question

已知關于x的兩個方程ax²+bx+c=0①，與ax²+（b-a）x+c-b=0②，它們的系數滿足a＞b＞c，方程①有兩個異號實數根．
（1）證明：方程②一定有兩個不相等的實數根；
（2）若1是方程①的一個根，方程②的兩個根分別為x₁、x₂，令，問：是否存在實數k，使？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明現由．

Answer 1

（1）證明：△=（b-a）²-4a（c-b）=（a+b）²-4ac，
∵方程①有兩個異號實數根，
∴a≠0，且＜0，
∴ac＜0，
∴-4ac＞0，
∵（a+b）²≥0，
∴△=（a+b）²-4ac＞0，
∴方程②一定有兩個不相等的實數根；

（2）解：∵x₁、x₂是方程②的兩根，
∴x₁+x₂=-=，x₁x₂=，
∵1是方程①的一個根，
∴a+b+c=0，
∴-b=a+c，
∴x₁²x₂+x₁x₂²=x₁x₂（x₁+x₂）=•=•=（1+）（2+），
∵k=，
∴x₁²x₂+x₁x₂²=（1+2k）（2+k）=2k²+5k+2=9，
整理得，2k²+5k-7=0，
解得k₁=-，k₂=1，
∵方程①有兩個異號實數根，
∴a≠0，k=＜0，
∴k=-．
分析：（1）表示出根的判別式△，再根據方程①有兩個異號實數根求出a、c異號，從而確定出△＞0，然后根據當△＞0，方程有兩個不相等的實數根證明即可；
（2）利用根與系數的關系表示出x₁+x₂、x₁x₂，再根據1是方程①的一個根用a、c表示出b，然后把x₁²x₂+x₁x₂²分解因式并整理成關于a、c的式子，再轉化為k的代數式，然后解方程求出k的值，再根據方程①有兩個異號實數根判斷出k的取值范圍，從而得解．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）的根的判別式△=b²-4ac．當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．