Question

如圖，已知：四邊形AEBD中，對角線AB和DE相交于點C，且AB垂直平分DE，AC＝a，BC＝b，CD＝，其中a≥b＞0．

(1)用尺規作圖法作出以AB為直徑的⊙O；

(2)試判斷點D與⊙O的位置關系，并說明理由；

(3)試估計代數式a＋b和2的大小關系，并利用圖形中線段的數量關系證明你的結論．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)如圖所示，　　4分 　　注：必須保留作圖痕跡，沒有作圖痕跡扣2分即作AB的垂直平分線不用圓規畫，扣2分 　　(2)解法一：∵AC＝a，BC＝b，CD＝ 　　∴CD2＝AC·CB，即　　5分 　　又∵∠DCA＝∠DCB＝90° 　　∴△DCA∽△BCD 　　∴∠DAB＝∠CDB　　7分 　　∵∠DAB＋∠ADC＝90° 　　∴∠ADC＋∠CDB＝90°即∠ADB＝90° 　　∴OA＝OB＝OD　　9分 　　∴點D在⊙O上　　10分 　　解法二：在Rt△ACD中，AD2＝AC2＋CD2＝a2＋ab 　　在Rt△BCD中，BD2＝BC2＋CD2＝b2＋ab 　　∴AD2＋BD2＝a2＋ab＋b2＋ab＝a2＋2ab＋b2　　6分 　　又∵AB2＝(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 　　∴AD2＋BD2＝AB2　　8分 　　∴△ABD是直角三角形，即∠ADB＝90° 　　∴OA＝OB＝OD　　9分 　　∴點D在⊙O上　　10分 　　(3)結論：a＋b≥2　　12分 　　由(2)知，點D、E都在⊙O上 　　∵AB是⊙O的直徑，AB⊥DE 　　∴DE＝2DC＝2 　　∵AB≥DE 　　∴a＋b≥2　　14分